Дробные выражения 6 класс: онлайн-тренажёр

Что называют дробным выражением

Дробным выражением называют частное, записанное с помощью дробной черты. В отличие от простой дроби, над чертой и под чертой могут находиться не отдельные числа, а целые выражения:

$\frac{7+2}{3\cdot 4}$

Здесь числитель — $7+2$, а знаменатель — $3\cdot 4$. Сначала вычисляют значения этих частей, затем выполняют деление:

$\frac{7+2}{3\cdot4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.$

Дробная черта фактически заменяет знак деления. Поэтому выражение

$(5-2):\left(\frac{3}{4}+1\right)$

можно записать так:

$\frac{5-2}{\frac{3}{4}+1}.$

Порядок действий в выражениях с дробями

При вычислении применяется обычный порядок действий:

1. действия в скобках;
2. умножение и деление слева направо;
3. сложение и вычитание слева направо.

Дробная черта дополнительно показывает, что весь числитель делится на весь знаменатель. Например:

$\frac{2+\frac{1}{3}}{5-\frac{1}{2}}.$

Сначала находят верхнюю и нижнюю части:

$$2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}, \qquad 5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.$$

Затем делят одну дробь на другую:

$$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{9}{2}} = \frac{7}{3}\cdot\frac{2}{9} = \frac{14}{27}.$$

Нельзя воспринимать дробную черту как действие только между ближайшими числами. Она объединяет весь числитель и весь знаменатель.

Алгоритм вычисления

Для большинства заданий 6 класса подходит такой порядок:

1. Перепишите выражение без пропусков и внимательно рассмотрите скобки.
2. Смешанные числа переведите в неправильные дроби.
3. Выполните действия в скобках.
4. При сложении и вычитании приведите дроби к общему знаменателю.
5. При умножении перемножьте числители и знаменатели, по возможности сократив дроби заранее.
6. Деление замените умножением на обратную дробь.
7. Сократите итог и при необходимости выделите целую часть.
8. Проверьте знак и примерный размер результата.

Сокращать дробь можно на любом этапе, если числитель и знаменатель имеют общий множитель. Это уменьшает числа и снижает риск ошибки.

Примеры решения

Пример 1. Сложение и умножение

Вычислим:

$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}.$

Сначала выполняем умножение:

$$\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

Теперь складываем:

$$\frac{3}{4}+\frac{1}{3} = \frac{9}{12}+\frac{4}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}.$$

Ответ можно оставить в виде неправильной дроби или записать смешанным числом — это зависит от условия.

Пример 2. Скобки и деление

$\left(\frac{7}{8}-\frac{1}{3}\right):\frac{11}{12}.$

Сначала вычисляем разность в скобках:

$$\frac{7}{8}-\frac{1}{3} = \frac{21}{24}-\frac{8}{24} = \frac{13}{24}.$$

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$$\frac{13}{24}:\frac{11}{12} = \frac{13}{24}\cdot\frac{12}{11} = \frac{13}{22}.$$

Пример 3. Смешанное число

$\frac{2}{3}+\left(1\frac{1}{2}-\frac{5}{6}\right)\cdot\frac{3}{4}.$

Переведём смешанное число:

$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

Вычислим выражение в скобках:

$$\frac{3}{2}-\frac{5}{6} = \frac{9}{6}-\frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Теперь умножим:

$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}.$

Осталось сложить:

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{2} = \frac{4}{6}+\frac{3}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}.$$

Как правильно сокращать дроби

Сокращение означает деление числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель:

$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.$

При умножении можно сокращать крест-накрест:

$\frac{6}{35}\cdot\frac{14}{9}.$

Число $6$ и $9$ делим на $3$, а $14$ и $35$ — на $7$:

$$\frac{6}{35}\cdot\frac{14}{9} = \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{15}.$$

Важно различать множители и слагаемые. В выражении

$\frac{3+6}{6}$

нельзя сократить шестёрки, потому что в числителе стоит сумма. Сначала нужно вычислить числитель:

$\frac{3+6}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$

Как складывать и вычитать дроби

Если знаменатели одинаковые, складывают или вычитают только числители:

$\frac{5}{11}-\frac{2}{11}=\frac{3}{11}.$

Если знаменатели разные, сначала находят общий знаменатель:

$\frac{3}{8}+\frac{5}{12}.$

Наименьший общий знаменатель — $24$:

$$\frac{3}{8}=\frac{9}{24}, \qquad \frac{5}{12}=\frac{10}{24}.$$

Тогда:

$$\frac{3}{8}+\frac{5}{12} = \frac{9}{24}+\frac{10}{24} = \frac{19}{24}.$$

Нельзя складывать числители и знаменатели по отдельности:

$\frac{3}{8}+\frac{5}{12}\ne\frac{8}{20}.$

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на обратную второй:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.$$

Например:

$$\frac{4}{9}:\frac{2}{3} = \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.$$

Обратная дробь меняет местами числитель и знаменатель. У числа $5$ обратная дробь — $\frac{1}{5}$, потому что $5=\frac{5}{1}$.

Делить на ноль нельзя. Поэтому знаменатель любой дроби и результат выражения, стоящий под дробной чертой, не должны быть равны нулю.

Типичные ошибки шестиклассников

Ошибка	Как исправить
Выполнение действий слева направо без учёта приоритета	Сначала решайте скобки, затем умножение и деление
Сложение знаменателей	Приводите дроби к общему знаменателю
Забытый переворот при делении	Делитель заменяйте обратной дробью
Сокращение слагаемых	Сокращайте только общие множители
Потеря минуса перед скобками	Раскрывайте скобки внимательно или сначала вычисляйте их содержимое
Остановка на несократимой форме не проверена	Ищите общий делитель числителя и знаменателя
Ошибка при переводе смешанного числа	Целую часть умножайте на знаменатель и прибавляйте числитель

Особенно полезно отдельно проверять промежуточные результаты. Если ошибка появилась в скобках, дальнейшие действия могут быть выполнены правильно, но итог всё равно окажется неверным.

Как использовать тренажёр с пользой

Решайте задания небольшими сериями, не угадывая ответ. После каждого неверного результата определите, на каком шаге возникла ошибка:

• неправильно выбран порядок действий;
• неверно найден общий знаменатель;
• допущена ошибка в арифметике;
• перепутано правило деления;
• не выполнено сокращение.

Полезно вести короткую запись решения, даже если пример кажется простым. После нескольких попыток повторите именно тот тип выражений, где ошибки встречаются чаще всего. Так тренажёр превращается не в проверку памяти, а в последовательную отработку навыка.

Быстрая самопроверка результата

Перед окончательным ответом задайте себе несколько вопросов:

• не получился ли знаменатель равным нулю;
• сохранён ли знак выражения;
• сокращается ли итоговая дробь;
• соответствует ли размер ответа исходным числам;
• не перепутаны ли неправильная дробь и смешанное число.

Например, произведение двух положительных дробей, каждая из которых меньше единицы, должно быть меньше каждой из них. Если после такого умножения получилась дробь больше единицы, решение стоит перепроверить.