Линейные уравнения 6 класс — тренажёр

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение с одной переменной — это равенство, в котором неизвестное обозначено буквой, обычно x, и встречается только в первой степени. После упрощения его часто можно привести к виду:

ax + b = 0

Здесь a и b — известные числа. Также линейные уравнения могут выглядеть так:

ax + b = cx + d

Переменная может находиться по обе стороны знака равенства, а в записи могут быть скобки, дроби или десятичные числа. При этом в уравнении не должно быть x², произведения x · x или переменной в знаменателе.

Корень уравнения — такое значение переменной, при котором левая и правая части равенства становятся одинаковыми.

Алгоритм решения

Для большинства уравнений 6 класса подходит следующий порядок:

1. Раскройте скобки, если они есть.
2. Приведите подобные слагаемые в каждой части.
3. Перенесите слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую.
4. Разделите обе части на коэффициент при переменной.
5. Выполните проверку, подставив ответ в исходное равенство.

Например:

5x + 7 = 2x + 19

Перенесём 2x в левую часть, а 7 — в правую:

5x − 2x = 19 − 7

Приведём подобные слагаемые:

3x = 12

Разделим обе части на 3:

x = 4

Проверка:

5 · 4 + 7 = 27
2 · 4 + 19 = 27

Левая и правая части совпали, значит, x = 4 — правильный корень.

Примеры для тренировки

Уравнение в одно действие

7x − 9 = 26

Прибавим 9 к обеим частям:

7x = 35

Разделим на 7:

x = 5

Переменная в обеих частях

8x − 6 = 3x + 14

Перенесём переменные влево, числа вправо:

8x − 3x = 14 + 6

5x = 20

x = 4

Важно переносить не отдельный знак, а всё слагаемое целиком. Поэтому −6 после переноса становится +6, а 3x — −3x.

Уравнение со скобками

3(x − 2) + 5 = 2x + 11

Раскроем скобки:

3x − 6 + 5 = 2x + 11

Упростим левую часть:

3x − 1 = 2x + 11

Перенесём 2x влево, а −1 вправо:

3x − 2x = 11 + 1

x = 12

Десятичные коэффициенты

0,6x + 1,8 = 0,2x + 5,4

После переноса:

0,6x − 0,2x = 5,4 − 1,8

0,4x = 3,6

x = 9

Если десятичные числа вызывают затруднения, можно умножить обе части на 10 или 100, чтобы перейти к целым числам.

Дробные коэффициенты

x/2 + 3 = x/4 + 6

Умножим обе части на 4:

2x + 12 = x + 24

Перенесём x в левую часть, а 12 — в правую:

2x − x = 24 − 12

x = 12

Умножать обе части уравнения можно только на одно и то же ненулевое число.

Особые случаи

Иногда после преобразований коэффициент при переменной исчезает. Тогда возможны два результата.

Бесконечно много решений

2(x + 3) = 2x + 6

Раскроем скобки:

2x + 6 = 2x + 6

Получилось верное равенство. Оно выполняется при любом значении x, поэтому решений бесконечно много.

Решений нет

3(x + 1) = 3x + 8

После раскрытия скобок:

3x + 3 = 3x + 8

После вычитания 3x из обеих частей остаётся:

3 = 8

Это неверное равенство, поэтому уравнение не имеет решений.

Такие ответы нельзя заменять конкретным числом. Всегда доводите преобразования до сравнения свободных чисел.

Как заниматься на тренажёре

Сначала решите пример самостоятельно, не угадывая ответ. Записывайте промежуточные действия в тетради: это помогает увидеть, на каком шаге появилась ошибка. Затем внесите найденный корень в виджет и сравните результат.

Для последовательной тренировки удобно двигаться от простого к сложному:

Этап	Примеры
1	Уравнения вида x + 7 = 15
2	Уравнения с коэффициентом, например 4x = 28
3	Переменная в обеих частях
4	Скобки и отрицательные числа
5	Десятичные и обыкновенные дроби
6	Уравнения с отсутствием или множеством решений

После серии заданий полезно разобрать не только ошибки, но и слишком быстрые ответы. Если корень получен устно, всё равно выполните подстановку хотя бы для нескольких примеров.

Частые ошибки

• Меняют знак только у числа, но не у всего слагаемого. При переносе −3x меняется на +3x целиком.
• Забывают раскрыть минус перед скобками. В выражении −(x − 5) результатом будет −x + 5.
• Делят только одну часть уравнения. Любое действие нужно выполнять одновременно с левой и правой частями.
• Путают коэффициент и свободный член. В 7x − 4 число 7 — коэффициент при переменной, а −4 — свободный член.
• Округляют дробный ответ без причины. Если получилось x = 7/4, это точный ответ, который не нужно заменять на приблизительное значение.
• Проверяют уже изменённое, а не исходное уравнение. Подстановка в первоначальную запись лучше выявляет ошибки при раскрытии скобок и переносе слагаемых.

Короткая памятка

Для уравнения ax + b = cx + d при a − c ≠ 0 можно использовать формулу:

x = (d − b)/(a − c)

Но в школьной записи обычно удобнее выполнять преобразования по шагам. Такой способ понятнее, особенно когда есть скобки, отрицательные числа или дроби.

Главное правило — сохранять равенство на каждом шаге и не пропускать проверку. Тогда тренажёр помогает не просто получить ответ, а закрепить правильный алгоритм решения.