Сокращение дробей: тренажёр для 6 класса

Что означает сократить дробь

Сократить обыкновенную дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, отличное от нуля и единицы.

В основе этого действия лежит основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, значение дроби не изменится.

$\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}, \quad \text{где } k \neq 0$

Цель сокращения — получить несократимую дробь, то есть запись, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).

---

3 способа сокращения обыкновенных дробей

В курсе математики 6 класса применяются три основных подхода к упрощению дробей. Выбор метода зависит от величины чисел и личного удобства.

Способ 1. Поэтапное сокращение (по признакам делимости)

Метод идеален для устного счёта и работы с небольшими или чётными числами. Дробь последовательно делится на очевидные простые множители (2, 3, 5, 10):

1. Проверка на 2: если оба числа чётные, делим пополам.
2. Проверка на 5 и 10: если числа оканчиваются на 0 или 5.
3. Проверка на 3 и 9: если сумма цифр делится на 3 или 9.

Пример: Сократить дробь $\frac{84}{126}$.

1. Оба числа чётные, делим на 2: $\frac{84 : 2}{126 : 2} = \frac{42}{63}$.
2. Числа делятся на 3 (сумма цифр $4+2=6$, $6+3=9$): $\frac{42 : 3}{63 : 3} = \frac{14}{21}$.
3. Оба числа из таблицы умножения делятся на 7: $\frac{14 : 7}{21 : 7} = \frac{2}{3}$.

Результат: $\frac{2}{3}$ (дробь несократима).

---

Способ 2. Сокращение через НОД (в один шаг)

Самый быстрый способ с точки зрения количества записей — найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделить на него один раз.

1. Разложить числитель и знаменатель на простые множители.
2. Найти произведение общих множителей (это и есть НОД).
3. Разделить верхнюю и нижнюю часть дроби на найденный НОД.

Пример: Сократить дробь $\frac{72}{96}$.

• $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
• $96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Общие множители: три двойки и одна тройка.
$\text{НОД}(72, 96) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$.

Делим числитель и знаменатель на 24:

$\frac{72 : 24}{96 : 24} = \frac{3}{4}$

---

Способ 3. Предварительное разложение на множители

Когда дробь содержит произведения в числителе и знаменателе, перемножать числа не нужно — одинаковые множители вычёркиваются (сокращаются) сразу.

Пример: Вычислить $\frac{15 \cdot 14}{21 \cdot 25}$.

1. Разложим составные числа: $\frac{3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5}$.
2. Зачеркнем общие множители (3, 5, 7): в числителе останется $2$, в знаменателе — $5$.
3. Итог: $\frac{2}{5}$.

---

Сравнительная таблица методов

Метод	Когда лучше применять	Плюсы	Минусы
Поэтапный	Простые числа, круглые десятки, чётные значения	Быстро считается в уме без черновика	Можно не заметить скрытый делитель (например, 13 или 17)
Через НОД	Большие трёхзначные и четырёхзначные числа	Сокращение выполняется строго за 1 шаг	Требует времени на разложение чисел
Множители	Примеры на умножение дробей, буквенные выражения	Избавляет от громоздких вычислений	Нужно предварительно раскладывать числа

---

Главные правила оформления и частые ошибки

1. Сокращаются только множители, но не слагаемые

Распространённая ошибка — сокращать числа, соединённые знаками плюс или минус:

• Неверно: $\frac{4 + 5}{4} \neq 5$ (нельзя вычёркивать четвёрки).
• Верно: сначала сложить $\frac{4 + 5}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$ либо вынести общий множитель за скобки.

2. Единица вместо нуля

Когда числитель полностью делится на знаменатель (или равен ему при сокращении), на его месте остаётся 1, а не ноль:

$\frac{13}{26} = \frac{13 : 13}{26 : 13} = \frac{1}{2}$

3. Неполное сокращение

Если после деления получилась дробь $\frac{6}{8}$, решение ещё не окончено. Ответ в школьной программе 6 класса всегда должен быть записан в виде несократимой дроби ($\frac{3}{4}$).

---

Практические примеры для самопроверки

Попробуйте решить примеры самостоятельно перед тем, как смотреть правильный ответ:

1. $\frac{18}{48}$

   • Делим на $\text{НОД}(18, 48) = 6$.
   • Результат: $\mathbf{\frac{3}{8}}$.

2. $\frac{45}{105}$

   • Сокращаем на 5: $\frac{9}{21}$.
   • Сокращаем на 3: $\mathbf{\frac{3}{7}}$.

3. $\frac{12 \cdot 35}{14 \cdot 18}$

   • Сокращаем 12 и 18 на 6 (остаются 2 и 3).
   • Сокращаем 35 и 14 на 7 (остаются 5 и 2).
   • Сокращаем двойки в числителе и знаменателе: $\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \mathbf{\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}}$.